れんれん

2025/11/27 22:30

初項p，末項q，項数mの有限数列{a[n]}がすべての自然数nに対して次の等式を満たしているとき，一般項a[n]を求めよ．
log[a[n]]a[n+1]=log[a[n+1]]a[n+2].

log[a]bは底がa,真数がbの対数を表します．

与えられた等式を考えると、自然数 \( n \) に対して次のようになります。

\[
\log_{a[n]} a[n+1] = \log_{a[n+1]} a[n+2]
\]

この両辺を対数の性質を使って書き換えます。左辺は、対数の変換を使って次のように書けます。

\[
\log_{a[n]} a[n+1] = \frac{\log a[n+1]}{\log a[n]}
\]

右辺も同様に変換すると、

\[
\log_{a[n+1]} a[n+2] = \frac{\log a[n+2]}{\log a[n+1]}
\]

したがって、等式は次のようになります：

\[
\frac{\log a[n+1]}{\log a[n]} = \frac{\log a[n+2]}{\log a[n+1]}
\]

これをクロスモップルすると、次のようになります：

\[
\log a[n+1]^2 = \log a[n] \cdot \log a[n+2]
\]

この形式から、もし \( \log a[n] \) を \( b[n] = \log a[n] \) とおくと、式は次のように簡略化できます：

\[
b[n+1]^2 = b[n] \cdot b[n+2]
\]

この形式は、数列 \( b[n] \) (すなわち \( \log a[n] \)) が特別な性質を持つことを示しています。このような性質を持つ数列は、指数関数で表現できる可能性があります。

特に、数列 \( b[n] \) が等比数列になる場合を考えると、次のように表現できるゆえに:

\[
b[n] = b[0] r^n
\]

ここで \( r \) は任意の定数です。すると、元の数列に戻すと：

\[
\log a[n] = b[0] r^n
\]

この結果から、数列 \( a[n] \) は次の形で表されます：

\[

え…ラテくん？

ラテくんが怖いよ…

こわぁ …

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