(a+b³)÷ab が整数となる全ての正の整数の組(a,b)を全て求めよ

(a,b)の組を求めるために式を計算してみましょう。

まず、式を展開します。

(a+b³)÷ab = a/ab + b³/ab = 1/b + b²/a

この式が整数となるためには、1/bとb²/aがともに整数である必要があります。

まず、1/bが整数となる場合を考えます。1/bが整数となるためには、bは1の約数である必要があります。つまり、bは1か-1の値を取ります。

次に、b²/aが整数となる場合を考えます。b²/aが整数となるためには、aはb²の約数である必要があります。すなわち、aはb²の倍数となります。

まとめると、「1/bが整数、かつaはb²の倍数」という条件を満たす(a,b)の組が求めるべき組となります。

具体的な組を求めるために、例を挙げてみましょう。

例えば、b=1の場合を考えます。bが1の場合、条件を満たすaは任意の正の整数となります。したがって、(a,b) = (n,1) (nは正の整数)が求める組です。

また、b=-1の場合も同様に考えると、(a,b) = (-n, -1) (nは正の整数)が求める組です。

このように、条件を満たす組は無数に存在するため、全ての正の整数の組(a,b)を求めることはできません。-

あーーーね

ありがとう雪くん

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