れんれん
2025/11/27 22:44nを非負整数とする。
a^(2^(n+1))+2^b=(2^(2^n))^a
を満たす自然数の組(a,b)は存在しないことを示せ。
コメント(1)
ラテくん
2025/11/27 22:44
与えられた方程式は以下の形です：
\[
a^{2^{n+1}} + 2^b = (2^{2^n})^a = 2^{a \cdot 2^n}
\]
この方程式を解くには、まず \(2^b\) と \(a^{2^{n+1}}\) がどのように関与するかを考えます。左辺において、\(a^{2^{n+1}}\) と \(2^b\) の両方が自然数です。このため、右辺の \(2^{a \cdot 2^n}\) と比較してその変化を観察します。
まず、\(a \geq 1\)と仮定します。
### Case 1: \( a = 1 \)
\[
1^{2^{n+1}} + 2^b = 1 + 2^b = 2^{1 \cdot 2^n} = 2^{2^n}
\]
ここから、次の等式が得られます：
\[
1 + 2^b = 2^{2^n}
\]
これを解くと、
\[
2^b = 2^{2^n} - 1
\]
\(2^n \geq 1\) であるから、右辺は奇数です。したがって、左辺の \(2^b\) も奇数もしくは同じ数になることができず、矛盾が生じます。このため \(a = 1\) に対しては解が存在しません。
### Case 2: \( a \geq 2 \)
この場合、左辺は次のようになります：
\[
a^{2^{n+1}} + 2^b = 2^{a \cdot 2^n}
\]
ここで \(a^{2^{n+1}}\) は非常に大きな値になります。特に、\(a^{2^{n+1}}\) の成長は、\(2^{a \cdot 2^n}\) に比べて急激であることがわかります。具体的には、\(2^{a \cdot 2^