余弦定理を述べ、それを証明せよ。

1)で述べた定義に基づき、一般角に対してα、βに対して
sin(α+β)=sinαcosβ+cosβsinα
cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
を証明せよ。

余弦定理は、三角形の辺の長さと角度の関係を表す公式であり、以下のように表現されます。

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{C}\]

これを証明するためには、以下の手順に従います。

1. 三角形ABCにおいて、辺ABの長さをa、辺BCの長さをb、辺ACの長さをcとする。
2. 点A、B、Cにおけるベクトルをそれぞれ\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)、\(\vec{c}\)とする。
3. ベクトル\(\vec{c}\)を\(\vec{a}\)と\(\vec{b}\)に分解すると、\(\vec{c} = \vec{b} - \vec{a}\)となる。
4. これを内積の定義により展開すると、\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{C}\)となり、余弦定理が成立することが示される。

以上が余弦定理の証明になります。

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